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力扣每日一题；题序：1883

我的题解

方法一 动态规划+浮点数精度

参考官方题解。
用 f[i][j]表示经过了 dist[0]到 dist[i−1]的 i 段道路，并且跳过了 j 次的最短用时。
在进行状态转移时，考虑最后一段道路 dist[i−1]是否选择跳过：

• 如果没有跳过，那么状态转移方程为：
  　　　　　$f[i][j]=\lceil f[i-1][j]+\frac{\text{dist}[i-1]}{\text{speed}}\rceil$
  其中 ⌈x⌉表示将 x向上取整。对于最后一段道路，无需等待到下一个整数小时，但由于题目中给定的 hoursBefore是一个整数，因此在状态转移方程中向上取整是不会影响结果的。
• 如果跳过，那么状态转移方程为：
  　　　$f[i][j]=f[i-1][j-1]+\frac{\text{dist}[i-1]}{\text{speed}}$

由于到达的时间尽可能早，因此需要选择这两种转移中的较小值，即：
$f[i][j]=\min \left\{\lceil f[i-1][j]+\frac{\text{dist}[i-1]}{\text{speed}}\rceil ,f[i-1][j-1]+\frac{\text{dist}[i-1]}{\text{speed}}\right\}$
需要注意的是，当 j=0 时，不能通过「跳过」进行转移；当 j=i 时，不能通过「没有跳过」进行转移；当 j>i 时，无法在 i 段道路内跳过超过 i 次，对应的状态不合法。
当计算完所有状态的值后，只需要找到最小的 j，使得 f[n][j]≤hoursBefore，这个 j即为最少需要跳过的次数。如果不存在这样的 jjj，那么返回 −1。
动态规划的细节

• 动态规划的边界条件为 f[0][0]=0，表示初始（未走过任何道路）时的时间为 0。
  由于状态转移方程中的取值为 min⁡，因此可以将除了 f[0][0]以外所有的状态置为一个极大值 $\infty$，方便进行转移。
  浮点数精度问题
  引入常量 eps表示一个极小值。在进行「向上取整」运算前，将待取整的浮点数减去 eps再进行取整，就可以避免上述的误差。
  同时，需要说明 eps 不会引入其它的问题。在本题中速度最大为 $10^6$，时间与速度成反比，那么 eps 的粒度只需要高于时间的精度 $10^{-6}$即可，取$10^{-7}$ 或 $10^{-8}$ 都是可行的。
  最后在比较 f[n][j]≤hoursBefore时，也需要将左侧减去 eps或将右侧加上 eps，再进行比较。
  时间复杂度：O($n^2$)
  空间复杂度：O($n^2$)

public int minSkips(int[] dist, int speed, int hoursBefore) {
    int n=dist.length;
    double eps=1e-7;
    double[][] dp=new double[n+1][n+1];
    for(int i=0;i<=n;i++){
        Arrays.fill(dp[i],Double.MAX_VALUE);
    }
    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        //跳跃次数
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(j!=i){
                dp[i][j]=Math.min(dp[i][j],Math.ceil(dp[i-1][j]+(double)dist[i-1]/speed-eps));
            }
            if(j!=0){
                dp[i][j]=Math.min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+(double)dist[i-1]/speed);
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(dp[n][i]<hoursBefore+eps)
            return i;
    }
    return -1;
}

方法二 动态规划+不考虑浮点数精度问题

对所有的除法都乘以speed使其成为整数。将「必须休息并等待，直到下一个整数小时才能开始继续通过下一条道路」，那么当我们将上面的变量都乘以 speed 后，规定应当变更为「必须休息并等待，直到下一个 speed 的倍数小时才能开始继续通过下一条道路」

时间复杂度：O($n^2$)
空间复杂度：O($n^2$)

public int minSkips(int[] dist, int speed, int hoursBefore) {
    int n=dist.length;
    long[][] dp=new long[n+1][n+1];
    for(int i=0;i<=n;i++){
        Arrays.fill(dp[i],Long.MAX_VALUE);
    }
    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        //跳跃次数
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(j!=i){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], ((dp[i - 1][j] + dist[i - 1] - 1) / speed + 1) * speed);
            }
            if(j!=0){
                dp[i][j]=Math.min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+dist[i-1]);
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(dp[n][i]<=(long)hoursBefore*speed)
            return i;
    }
    return -1;
}

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